Calcule
lim x +infty raiz4+x+x^2-xx^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x→+∞ de (√(4+x+x²) – x)/x². O conteúdo é limite de funções envolvendo raiz quadrada e vamos precisar usar a racionalização do numerador.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de √(x²+x+4) – x, que é √(x²+x+4)+x. Assim obtemos:
raizx^2+x+4-xx^2cdotraizx^2+x+4+xraizx^2+x+4+x=(x^2+x+4)-x^2x^2l(raizx^2+x+4+xr)=x+4x^2l(raizx^2+x+4+xr)

Passo 3

Fatoramos x dentro da raiz: raizx^2+x+4=xraiz1+1/x+4/x^2. Então o denominador fica
x^2l(xraiz1+1/x+4/x^2+xr)=x^3l(raiz1+1/x+4/x^2+1r)

Passo 4

Reescrevendo a fração temos
x+4x^3l(raiz1+1/x+4/x^2+1r)=1+4/xx^2l(raiz1+1/x+4/x^2+1r)
Quando x→+∞, 4/x→0 e 4/x²→0, logo √(1+1/x+4/x²)→1. Então o quociente tende a
1+0x^2(1+1)=12x^2
e esse valor vai a 0 quando x cresce indefinidamente.

Resposta

0

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