Calcule
lim x 1 |x^3-1||x-1|+|x^3-1|^2

Passo 1

Neste exercício vamos calcular o limite envolvendo valor absoluto:
Temos a expressão
limxto 1lvert x^3-1rvertlvert x-1rvert+lvert x^3-1rvert^2
O conteúdo é limite de função com valor absoluto e vamos precisar fatorar x^3-1 para simplificar.

Passo 2

Primeiro fatoramos x^3-1 usando a fórmula de soma e diferença de cubos:
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
Como x^2+x+1>0 perto de x=1, segue que
lvert x^3-1rvert=lvert x-1rvert,(x^2+x+1)
Substituindo no numerador e no denominador:
lvert x^3-1rvertlvert x-1rvert+lvert x^3-1rvert^2 =lvert x-1rvert,(x^2+x+1)lvert x-1rvert+l(lvert x-1rvert,(x^2+x+1)r)^2

Passo 3

Agora fatoramos lvert x-1rvert no denominador:
lvert x-1rvert,(x^2+x+1)lvert x-1rvertl[1+lvert x-1rvert,(x^2+x+1)^2r] =x^2+x+11+lvert x-1rvert,(x^2+x+1)^2
Ao fazer xto1, temos x^2+x+1to3 e lvert x-1rvertto0. Logo a fração tende a
31+0=3

Resposta

3

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