Calcule
lim x 2 x^3-2 x^2-4 x+8|x-2|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a 2 da função f(x)=x^3-2x^2-4x+8|x-2|. O conteúdo envolvido é limite de funções com valor absoluto e vamos precisar usar fatoração de polinômio e propriedades do valor absoluto.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador x^3-2x^2-4x+8 por agrupamento:
x^3-2x^2-4x+8= x^2(x-2)-4(x-2)=(x^2-4)(x-2)=(x-2)^2(x+2)

Passo 3

Substituímos a fatoração na expressão do limite e simplificamos o fator |x-2|:
x^3-2x^2-4x+8|x-2| = (x-2)^2(x+2)|x-2| = |x-2|(x+2)
Aqui usamos que (x-2)^2=|x-2|^2 e, ao dividir por |x-2|, sobra |x-2|.

Passo 4

Agora analisamos o limite
limxto2|x-2|(x+2)
Como |x-2|to0 e (x+2)to4 quando xto2, o produto tende a 0cdot4=0.

Resposta

0

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