Calcule
lim x infty(raizx^2+2 x-x)

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x infty(raizx^2+2 x-x). Esse exercício está relacionado ao estudo de limites no infinito e envolve funções algébricas. Para resolver, vamos precisar manipular expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Para facilitar o cálculo, vamos racionalizar a expressão. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada. No caso, a conjugada de raizx^2+2x - x é raizx^2+2x + x.
Então, multiplicamos:
(raizx^2+2x - x) times raizx^2+2x + xraizx^2+2x + x

Passo 3

Ao multiplicar, usamos a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
(raizx^2+2x)^2 - x^2raizx^2+2x + x = x^2 + 2x - x^2raizx^2+2x + x = 2xraizx^2+2x + x

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador. Fatoramos x dentro da raiz:
raizx^2+2x = raizx^2(1 + 2x) = xraiz1 + 2x
Substituindo de volta na expressão:
2xxraiz1 + 2x + x = 2xx(raiz1 + 2x + 1) = 2raiz1 + 2x + 1

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando x tende ao infinito. Quando x infty, 2x 0. Portanto:
raiz1 + 2x raiz1 + 0 = 1
Substituindo na expressão:
21 + 1 = 22 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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