Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função a seguir
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função
. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e suas propriedades para encontrar essas características.
Passo 2
Determinar o Domínio
O domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a função está definida. No caso da função logarítmica
, sabemos que o argumento
deve ser maior que zero, pois o logaritmo natural não está definido para números negativos ou zero.
Portanto, para
, o domínio é todos os valores de
tais que
.
Passo 3
Determinar a Imagem
A imagem de uma função é o conjunto de valores de saída que a função pode assumir. Para a função
, sabemos que seu alcance é todo número real, ou seja,
para
.
Como a função
é apenas uma transformação de
por uma constante multiplicativa, ela também terá como imagem todo número real. Isso porque multiplicar o logaritmo natural por
não restringe o conjunto de valores possíveis de
.
Passo 4
Esboçar o Gráfico da Função
Para esboçar o gráfico de
, vamos considerar as características da função logarítmica base
:
-
Intercepto no eixo das ordenadas: Quando
, , então . Portanto, o gráfico passa pelo ponto . -
Assíntota vertical: A função possui uma assíntota vertical em
, já que à medida que se aproxima de 0 pela direita, tende a , assim também tende a . -
Crescimento: A função é crescente para
e crescente, mas com crescimento mais lento devido à multiplicação por . -
Comportamento para
grande: À medida que aumenta, tende a , portanto, também tende a .
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
.
Resposta
O domínio da função
é
, a imagem é
(todos os números reais), e o gráfico é uma curva logarítmica que passa pelo ponto
, com uma assíntota vertical em
e cresce lentamente para a direita.