Determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função a seguir
g(x)=ln x2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico da função . Vamos usar conceitos de funções logarítmicas e suas propriedades para encontrar essas características.

Passo 2

Determinar o Domínio
O domínio de uma função é o conjunto de valores de para os quais a função está definida. No caso da função logarítmica , sabemos que o argumento deve ser maior que zero, pois o logaritmo natural não está definido para números negativos ou zero.
Portanto, para , o domínio é todos os valores de tais que .

Passo 3

Determinar a Imagem
A imagem de uma função é o conjunto de valores de saída que a função pode assumir. Para a função , sabemos que seu alcance é todo número real, ou seja, para .
Como a função é apenas uma transformação de por uma constante multiplicativa, ela também terá como imagem todo número real. Isso porque multiplicar o logaritmo natural por não restringe o conjunto de valores possíveis de .

Passo 4

Esboçar o Gráfico da Função
Para esboçar o gráfico de , vamos considerar as características da função logarítmica base :
  1. Intercepto no eixo das ordenadas: Quando , , então . Portanto, o gráfico passa pelo ponto .
  2. Assíntota vertical: A função possui uma assíntota vertical em , já que à medida que se aproxima de 0 pela direita, tende a , assim também tende a .
  3. Crescimento: A função é crescente para e crescente, mas com crescimento mais lento devido à multiplicação por .
  4. Comportamento para grande: À medida que aumenta, tende a , portanto, também tende a .
Com essas informações, podemos esboçar o gráfico da função .

Resposta

O domínio da função é , a imagem é (todos os números reais), e o gráfico é uma curva logarítmica que passa pelo ponto , com uma assíntota vertical em e cresce lentamente para a direita.

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