Considere a função real
Determine o domínio e a imagem de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela muda a sua expressão dependendo do valor de
. O exercício pede pra gente descobrir o domínio e a imagem dessa função. Pra isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, e como analisar funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida, ou seja, onde a gente consegue calcular
sem problemas.
No nosso caso, a função
está definida para todo
real, porque as duas expressões
e
são bem comportadas para qualquer número real. Não tem divisão por zero, nem radiciação de número negativo, nada que possa restringir o domínio.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir.
Vamos analisar as duas partes da função:
-
Para
: A função exponencialé sempre positiva e cresce à medida que aumenta. Quando vai de menos infinito até 1, vai de 0 até . Subtraindo 1, vai de até . -
Para
: Aqui, a função é constante e igual a.
Então, juntando essas duas partes, a menor saída da função é
e a maior é
. Não tem valores entre
e
porque, para
, a função já está fixa em
.
Resposta
- Domínio de
: (todos os números reais). - Imagem de
: .