Considere a função real
f(x)=l e^2 x-1, se x <= 1, e^2, se x>1
Determine o domínio e a imagem de f;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela muda a sua expressão dependendo do valor de . O exercício pede pra gente descobrir o domínio e a imagem dessa função. Pra isso, vamos precisar entender o que são domínio e imagem, e como analisar funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida, ou seja, onde a gente consegue calcular sem problemas.
No nosso caso, a função está definida para todo real, porque as duas expressões e são bem comportadas para qualquer número real. Não tem divisão por zero, nem radiciação de número negativo, nada que possa restringir o domínio.

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que f(x) = e^2x - 1 pode assumir.
Vamos analisar as duas partes da função:
  1. Para f(x) = e^2 :
    A função exponencial é sempre positiva e cresce à medida que aumenta. Quando vai de menos infinito até 1, vai de 0 até . Subtraindo 1, vai de até .
  2. Para :
    Aqui, a função é constante e igual a .
Então, juntando essas duas partes, a menor saída da função é e a maior é . Não tem valores entre e porque, para , a função já está fixa em .

Resposta

  • Domínio de : (todos os números reais).
  • Imagem de : .

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