Supondo que
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = 16 - 4x^{2} - y^{2} $. A tarefa é encontrar as derivadas parciais dessa função em pontos específicos: $ f_{x}(1, 2) $ e $ f_{y}(1, 2) $. Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas parciais, que é uma parte da matemática que estuda como uma função muda em relação a uma das suas variáveis mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Para encontrar $ f_{x} $, derivamos a função em relação a $ x $, tratando $ y $ como uma constante. Já para $ f_{y} $, derivamos em relação a $ y $, tratando $ x $ como constante.
Passo 3
Vamos começar encontrando $ f_{x}(x, y) $. Derivando $ f(x, y) = 16 - 4x^{2} - y^{2} $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ f_{x}(1, 2) $:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar $ f_{y}(x, y) $. Derivando $ f(x, y) = 16 - 4x^{2} - y^{2} $ em relação a $ y $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ f_{y}(1, 2) $:
Resposta
Portanto, $ f_{x}(1, 2) = -8 $ e $ f_{y}(1, 2) = -4 $.