Calcule
lim x +infty raizxraizx+1-raiz2 x

Passo 1

Temos que calcular limx to +infty raizxraizx+1 - raiz2x. Esse é um limite de função irracional, e vamos usar a racionalização do denominador e propriedades de limites envolvendo raizx.

Passo 2

Para eliminar a indeterminação do tipo +infty - +infty no denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raizx+1 - raiz2x, que é raizx+1 + raiz2x. Assim,
raizxraizx+1-raiz2x ;cdot; raizx+1+raiz2xraizx+1+raiz2x = raizxl(raizx+1+raiz2xr)(x+1)-2x = raizxl(raizx+1+raiz2xr)1-x = -raizxl(raizx+1+raiz2xr)x-1

Passo 3

Fatoramos raizx em cada termo do numerador usando raizx+1=raizxraiz1+1/x e raiz2x=raizxraiz2. Assim,
-raizxl(raizx+1+raiz2xr)x-1 = -raizxl(raizx(raiz1+1/x+raiz2)r)x(1-1/x) = -xl(raiz1+1/x+raiz2r)x(1-1/x) = -raiz1+1/x+raiz21-1/x

Passo 4

Agora aplicamos o limite quando xto+infty: temos raiz1+1/xto1 e 1-1/xto1. Logo,
limxto+inftyl(-raiz1+1/x+raiz21-1/xr) = -l(1+raiz2r) = -1-raiz2

Resposta

-1-\sqrt{2}

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