A função
tem um ponto de máximo relativo para
igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é: “A função $ f(x) = x^{3} - 27x $ tem um ponto de máximo relativo para $ x $ igual a:”. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente buscando encontrar os pontos de máximo relativo de uma função. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde essa derivada é zero, pois esses pontos podem ser máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = x^{3} - 27x $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. Usamos a regra do poder para derivar cada termo:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
Resolvendo essa equação:
Então, temos dois pontos críticos em $ x = 3 $ e $ x = -3 $.
Passo 4
Para determinar se cada ponto crítico é um máximo ou mínimo, podemos analisar a segunda derivada da função ou observar o comportamento da derivada primeiro.
Vamos calcular a segunda derivada:
Agora, avaliamos a segunda derivada em cada ponto crítico:
- Para $ x = 3 $:
Isso indica que a função tem um mínimo em $ x = 3 $.
- Para $ x = -3 $:
Isso indica que a função tem um máximo em $ x = -3 $.
Resposta
A função $ f(x) = x^{3} - 27x $ tem um ponto de máximo relativo para $ x $ igual a
.