A função f(x)=x^3-27 x tem um ponto de máximo relativo para x igual a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão é: “A função $ f(x) = x^{3} - 27x $ tem um ponto de máximo relativo para $ x $ igual a:”. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente buscando encontrar os pontos de máximo relativo de uma função. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e encontrar onde essa derivada é zero, pois esses pontos podem ser máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = x^{3} - 27x $. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a $ x $. Usamos a regra do poder para derivar cada termo:
f(x) = x^3 - 27x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
3x^2 - 27 = 0
Resolvendo essa equação:
3x^2 = 27 x^2 = 9 x = pm 3
Então, temos dois pontos críticos em $ x = 3 $ e $ x = -3 $.

Passo 4

Para determinar se cada ponto crítico é um máximo ou mínimo, podemos analisar a segunda derivada da função ou observar o comportamento da derivada primeiro.
Vamos calcular a segunda derivada:
f''(x) = ddx(3x^2 - 27) = 6x
Agora, avaliamos a segunda derivada em cada ponto crítico:
  • Para $ x = 3 $:
x = 3
Isso indica que a função tem um mínimo em $ x = 3 $.
  • Para $ x = -3 $:
f''(3) = 6 times 3 = 18 > 0
Isso indica que a função tem um máximo em $ x = -3 $.

Resposta

A função $ f(x) = x^{3} - 27x $ tem um ponto de máximo relativo para $ x $ igual a f(x) = x^3 - 27x .

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