A função real de variável real definida por
é decrescente no intervalo:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função $ y = 2x^{3} + 9x^{2} - 24x + 6 $ e pede para descobrir em qual intervalo essa função está decrescente. Isso significa que queremos saber onde, ao aumentar $ x $, o valor de $ y $ diminui. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender se a função está subindo ou descendo em determinados intervalos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ y $. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto $ x $. Se a derivada for negativa, a função está descendo naquele ponto.
A função dada é:
Vamos derivar termo a termo:
- A derivada de $ 2x^{3} $ é $ 6x^{2} $
- A derivada de $ 9x^{2} $ é $ 18x $
- A derivada de $ -24x $ é $ -24 $
- A derivada de $ 6 $ é $ 0 $ (porque a derivada de uma constante é zero)
Então, a derivada da função $ y $ é:
Passo 3
Agora, queremos descobrir quando essa derivada é negativa, ou seja:
Vamos simplificar a inequação dividindo todos os termos por 6:
Passo 4
Para resolver essa inequação quadrática, primeiro encontramos as raízes da equação igualada a zero:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 3 $, e $ c = -4 $.
Calculando o discriminante:
Então,
Isso dá duas raízes:
Passo 5
Agora, sabemos que a parábola $ x^{2} + 3x - 4 $ corta o eixo $ x $ nos pontos $ x = -4 $ e $ x = 1 $. Como o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo, a parábola abre para cima. Isso significa que a inequação $ x^{2} + 3x - 4 < 0 $ é satisfeita entre as raízes.
Então, a função derivada $ y’ $ é negativa no intervalo:
Resposta
A função está decrescente no intervalo $ -4 < x < 1 $.