A função real de variável real definida por y=2 x^3+9 x^2-24 x+6 é decrescente no intervalo:
Escolha uma opção:
x>0
x<-4
-4
Nenhuma das demais alternativas
x>1
-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função $ y = 2x^{3} + 9x^{2} - 24x + 6 $ e pede para descobrir em qual intervalo essa função está decrescente. Isso significa que queremos saber onde, ao aumentar $ x $, o valor de $ y $ diminui. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender se a função está subindo ou descendo em determinados intervalos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ y $. A derivada nos dá a inclinação da função em qualquer ponto $ x $. Se a derivada for negativa, a função está descendo naquele ponto.
A função dada é:
y
Vamos derivar termo a termo:
  • A derivada de $ 2x^{3} $ é $ 6x^{2} $
  • A derivada de $ 9x^{2} $ é $ 18x $
  • A derivada de $ -24x $ é $ -24 $
  • A derivada de $ 6 $ é $ 0 $ (porque a derivada de uma constante é zero)
Então, a derivada da função $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, queremos descobrir quando essa derivada é negativa, ou seja:
6x^2 + 18x - 24 < 0
Vamos simplificar a inequação dividindo todos os termos por 6:
x^2 + 3x - 4 < 0

Passo 4

Para resolver essa inequação quadrática, primeiro encontramos as raízes da equação igualada a zero:
x^2 + 3x - 4 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 3 $, e $ c = -4 $.
Calculando o discriminante:
a = 1
Então,
b = 3
Isso dá duas raízes:
c = -4
De

Passo 5

Agora, sabemos que a parábola $ x^{2} + 3x - 4 $ corta o eixo $ x $ nos pontos $ x = -4 $ e $ x = 1 $. Como o coeficiente de $ x^{2} $ é positivo, a parábola abre para cima. Isso significa que a inequação $ x^{2} + 3x - 4 < 0 $ é satisfeita entre as raízes.
Então, a função derivada $ y’ $ é negativa no intervalo:
x^2 + 3x - 4

Resposta

A função está decrescente no intervalo $ -4 < x < 1 $.

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