Calcule lim x -infty(sen(x^4)x^4-1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -inftyl(sin(x^4)/x^4 - 1r). O conteúdo envolve limites de funções quando a variável tende a infinito e uso de propriedades de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar que sin(t) é limitado entre -1 e 1 e entender o comportamento de x^4 quando xto -infty.

Passo 2

Para xto -infty, o termo x^4 cresce sem limite e permanece positivo, isto é, limxto -inftyx^4 = +infty. Apesar de x ser negativo, a potência par anula o sinal.
Sabemos que para todo t vale -1 <= sin(t) <= 1. Logo, para t = x^4, temos -1 <= sin(x^4) <= 1.

Passo 3

Dividindo essa desigualdade por x^4>0, obtemos
-1x^4 <= sin(x^4)x^4 <= 1x^4
Como x^4 to +infty, segue que 1/x^4 to 0. Pelo teorema do sanduíche, concluímos que limxto -inftysin(x^4)/x^4 = 0.

Passo 4

Substituindo esse resultado de volta na expressão original, o limite fica 0 - 1 = -1.

Resposta

-1

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