Calcule:
lim x -infty(2 x-12 x+1)^x

Passo 1

O enunciado pede
L = limxto -inftyl(2x-12x+1r)^x
Observe que, para xto-infty, a base 2x-12x+1to1 e o expoente to-infty, caracterizando uma indeterminação do tipo 1^infty. Para resolver, vamos transformar em exponencial usando logaritmo e depois desenvolver uma expansão de série.

Passo 2

Escrevemos
L = expl(limxto -inftyx,lnl(tfrac2x-12x+1r)r)
Agora precisamos calcular
limxto -inftyx,lnl(tfrac2x-12x+1r).

Passo 3

Reescrevemos o logaritmo como
lnl(tfrac2x-12x+1r) = lnl(1 - tfrac22x+1r)
Para xto -infty, o termo tfrac22x+1to0 e vale a expansão
ln(1+u)sim u(uto0)
Aqui u=-tfrac22x+1, logo
lnl(tfrac2x-12x+1r) sim -22x+1
Multiplicando por x, dá
x,lnl(tfrac2x-12x+1r) sim -2x2x+1,
e
limxto -inftyl(-tfrac2x2x+1r) = -1

Passo 4

Portanto
L = exp(-1) = 1e

Resposta

tfrac1e

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