Calcule:
lim x +infty(2 x+32 x+1)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftyl(2x+32x+1r)^x
O conteúdo aqui é cálculo de limites de forma do tipo (1+ux)^vx que tipicamente convergem a e^lim vxux. Vamos usar a transformação logarítmica para identificar esse expoente.

Passo 2

Definimos
L = limxto+inftyl(2x+32x+1r)^x
Para estudar L, consideramos
ln L = limxto+infty x;ln!l(2x+32x+1r)

Passo 3

Observamos que
2x+32x+1 = 1 + 22x+1,
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ln!l(2x+32x+1r) = lnl(1 + tfrac22x+1r)
Quando xtoinfty, o termo tfrac22x+1to0, e usamos a expansão ln(1+u)sim u. Assim
x;lnl(1+tfrac22x+1r) sim xcdottfrac22x+1 = 2x2x+1 longrightarrow 1
Portanto ln L = 1.

Passo 4

Como ln L=1, segue que L = e^1 = e.

Resposta

e

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