Mostre que
, é solução da equação diferencial
Encontre uma função
tal que
seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções
e
são soluções fundamentais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
,
, é solução da equação
depois encontrar uma segunda solução da forma
por redução de ordem, e finalmente provar que e
são soluções fundamentais (isto é, linearmente independentes).
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem, redução de ordem e Wronskiano.
por redução de ordem, e finalmente provar que
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem, redução de ordem e Wronskiano.
Passo 2
Verificamos que
satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
Substituindo em
:
Logo
é de fato solução.
Passo 3
Para aplicar redução de ordem, escrevemos a equação na forma padrão
dividindo por
:
onde
. A fórmula de redução de ordem diz que, se
é solução, então
Passo 4
Calculamos
Como
, temos
. Então o integrando é
e
Portanto podemos escolher
Passo 5
Para mostrar que
e
são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano
Aqui
Logo
Como o Wronskiano é não nulo,
e
são soluções fundamentais.
Resposta
As duas soluções fundamentais são
e portanto a solução geral é