Mostre que y1(x)=x^-1, x>0, é solução da equação diferencial
x^2 y^prime prime+3 x y^prime+y=0
Encontre uma função u(x) tal que y2(x)=u(x) y1(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções y1(x) e y2(x) são soluções fundamentais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
y1(x)=x^-1, x>0, é solução da equação
x^2y''+3x,y'+y=0,
depois encontrar uma segunda solução da forma
y2(x)=u(x),y1(x)
por redução de ordem, e finalmente provar que y1 e y2 são soluções fundamentais (isto é, linearmente independentes).
Conteúdo: equações diferenciais lineares de segunda ordem, redução de ordem e Wronskiano.

Passo 2

Verificamos que y1(x)=x^-1 satisfaz a equação. Calculamos as derivadas:
y1'(x)= -x^-2, y1''(x)= 2x^-3
Substituindo em x^2y''+3x,y'+y=0:
x^2l(2x^-3r)+3xl(-x^-2r)+x^-1 =2x^-1-3x^-1+x^-1=0
Logo y1(x)=x^-1 é de fato solução.

Passo 3

Para aplicar redução de ordem, escrevemos a equação na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0,
dividindo por x^2:
y'' + 3xy' + 1x^2y = 0,
onde p(x)=3/x. A fórmula de redução de ordem diz que, se y1 é solução, então
y2(x) = y1(x),integral e^-integral p(x),dxy1(x)^2,dx

Passo 4

Calculamos
integral p(x),dx = integral 3x,dx = 3ln x, e^-integral p(x),dx = e^-3ln x = x^-3
Como y1(x)=x^-1, temos y1(x)^2=x^-2. Então o integrando é
x^-3x^-2 = x^-1,
e
integral x^-1,dx = ln x
Portanto podemos escolher
u(x)=ln x, y2(x)=u(x),y1(x)=x^-1ln x

Passo 5

Para mostrar que y1 e y2 são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano
W(x) =det y1 & y2 y1'& y2'
Aqui
y1=x^-1, y2=x^-1ln x,
y1'=-x^-2, y2' =-x^-2ln x + x^-1cdot1x =-x^-2ln x + x^-2
Logo
W(x) = x^-1l(-x^-2ln x + x^-2r) - l(x^-1ln xr)l(-x^-2r) = x^-3neq 0 para x>0
Como o Wronskiano é não nulo, y1 e y2 são soluções fundamentais.

Resposta

As duas soluções fundamentais são
y1(x)=x^-1, y2(x)=x^-1ln x,
e portanto a solução geral é
y(x)=C1,x^-1+C2,x^-1ln x

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