Calcule
lim x -infty(2 x^5-x^4+2 x^2-1)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxto -inftyl(2x^5-x^4+2x^2-1r)
O conteúdo aqui é o comportamento assintótico de um polinômio para xto -infty. Vamos usar o fato de que, para x muito grande em módulo, o termo de maior grau domina o comportamento da função.

Passo 2

Identificamos que o polinômio
P(x)=2x^5-x^4+2x^2-1
é de grau 5, cujo coeficiente líder é 2>0. Em limites no infinito, o sinal do resultado é determinado pelo grau (ímpar) e pelo coeficiente líder (positivo).

Passo 3

Para ver isso de forma mais detalhada, fatoramos x^5 em P(x):
P(x)=x^5l(2 - x^-1 + 2x^-3 - x^-5r)
Quando xto -infty, cada termo x^-k tende a zero, logo
2 - x^-1 + 2x^-3 - x^-5;longrightarrow;2

Passo 4

Portanto
P(x)sim 2,x^5
e, como x^5to -infty quando xto -infty, segue que
2,x^5to -infty
Logo o polinômio também tende a -infty.

Resposta

-infty

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