Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis v=y / x :
d yd x=3 y+x3 x+y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = 3y + x3x + y
fazendo a mudança de variáveis v = y/x.
O conteúdo aqui é equação de primeira ordem homogênea: quando o membro direito é função de y/x, usamos y = v x para transformar em variável separável.

Passo 2

Fazendo y = v x temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo em dydx = 3y + x3x + y
v + xdvdx = 3(vx) + x3x + vx = 3v + 13 + v

Passo 3

Isolando dvdx:
xdvdx = 3v + 13 + v - v = 1 - v^23 + v
Separando as variáveis:
3+v1-v^2,dv = dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral 3+v1-v^2,dv = integral dxx
Fazendo frações parciais em 3+v1-v^2 = 21-v + 11+v e integrando, obtemos
-2lnlvert 1 - vrvert + lnlvert 1 + vrvert = lnlvert xrvert + C
Ou seja,
ln!l(1+v(1-v)^2r) = lnlvert xrvert + C

Passo 5

Volta a variável original v = y/x:
1 + yxl(1 - yxr)^2 = C,x
Reescrevendo sem frações dentro de frações:
x+yx;x^2(x-y)^2 = C,x Longrightarrow x+y(x-y)^2 = C

Resposta

A solução geral implícita é
x + y = C,(x - y)^2,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados