Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis v=y / x :
d yd x=2 x^2+5 y^22 x y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx=2x^2+5y^22xy
usando a mudança de variáveis v=y/x. Isso é um caso de equação homogênea, em que definimos
,y=v,x
e sabemos que
dydx=v + xdvdx.

Passo 2

Substituindo y=vx no lado direito temos:
o numerador fica 2x^2+5y^2=2x^2+5v^2x^2=x^2(2+5v^2),
e o denominador fica 2x,y=2x,(v x)=2v x^2.
Logo
2x^2+5y^22xy =x^2(2+5v^2)2v x^2 =2+5v^22v
Então a equação diferencial vira
v + xdvdx=2+5v^22v,
isto é
xdvdx =2+5v^22v-v =2+5v^2-2v^22v =2+3v^22v,
ou ainda
dvdx=2+3v^22v,x

Passo 3

Separamos as variáveis v e x:
2v2+3v^2,dv=dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados. No lado direito dá
integraldxx=ln|x|+C.
No lado esquerdo fazemos u=2+3v^2, du=6v,dv, então
integral2v2+3v^2,dv =integral26,duu =13ln|u| =13lnl|2+3v^2r|
Logo
13lnl|2+3v^2r| =ln|x|+C

Passo 5

Multiplicando por 3 e exponenciando, obtemos
lnl|2+3v^2r| =3ln|x|+C' Longrightarrow l|2+3v^2r|=K,x^3,
com K=e^C'. Absorvemos o sinal em K geral.

Passo 6

Voltando a y e x, como v=y/x temos
2+3y^2x^2=K,x^3 Longrightarrow 2x^2+3y^2=K,x^5,
que é a solução implícita geral da equação.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
2x^2+3y^2=C,x^5,
onde C é uma constante arbitrária.

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