Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=0^infty ln nn^3 x^n

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar o conjunto de valores de x para o qual
sumn=0^infty ln nn^3,x^n
converge. O conteúdo aqui é convergência de séries de potências e vamos precisar do teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois testar os extremos.

Passo 2

Aplicando o teste da razão à parte an=ln nn^3, calculamos
L ;=;limntoinftygl|an+1,x^,n+1an,x^ngr| =limntoinftyln(n+1)(n+1)^3,n^3ln n;|x| =limntoinftyln(n+1)ln n;n^3(n+1)^3;|x| =|x|
Como o critério da razão pede L<1 para convergência, concluímos que o raio de convergência é
R=1,
isto é, a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1.

Passo 3

Agora testamos os extremos ,x=1 e ,x=-1.
Para x=1 a série vira
sumn=1^inftyln nn^3
Podemos usar o teste da integral:
integral1^inftyln xx^3,dx
faz substituição por partes ou nota que ln xx^3=O(x^-2.5). Em qualquer caso o integral é finito, logo a série converge.

Passo 4

Para x=-1 o termo geral é (-1)^nln nn^3. Como sum ln nn^3 já converge (visto em x=1), a convergência em x=-1 é absoluta e, portanto, também converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é
[-1,,1]

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