Encontre o intervalo de convergência da série de potências.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar o conjunto de valores de para o qual
converge. O conteúdo aqui é convergência de séries de potências e vamos precisar do teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois testar os extremos.
Passo 2
Aplicando o teste da razão à parte , calculamos
Como o critério da razão pede L<1 para convergência, concluímos que o raio de convergência é
R=1,
isto é, a série converge para |x|<1 e diverge para |x|>1.
Passo 3
Agora testamos os extremos ,x=1 e ,x=-1.
Para x=1 a série vira
sumn=1^inftyln nn^3
Podemos usar o teste da integral:
integral1^inftyln xx^3,dx
faz substituição por partes ou nota que ln xx^3=O(x^-2.5). Em qualquer caso o integral é finito, logo a série converge.
Passo 4
Para x=-1 o termo geral é (-1)^nln nn^3. Como sum ln nn^3 já converge (visto em x=1), a convergência em x=-1 é absoluta e, portanto, também converge.