Considere a equação diferencial
(x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0
(a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
y1(x)=e^r x,
para r um número real fixo.
(b) Encontre uma solução da equação diferencial que seja uma função de 1^circ grau.
(c) Encontre a solução geral da equação diferencial.
(d) Encontre a solução do PVI
l (x+3) y^prime prime+(x+2) y^prime-y=0 y(1)=1, y^prime(1)=3

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
(x+3),y''+(x+2),y'-y=0
e pede: (a) uma solução do tipo y1(x)=e^r x; (b) uma solução polinomial de primeiro grau; (c) a solução geral; (d) a solução do PVI com y(1)=1 e y'(1)=3. Vamos usar o princípio da superposição e a ideia de testar e^r x e um polinômio de grau 1.

Passo 2

Para (a), assumimos
y1(x)=e^r x,
então
y1'(x)=r,e^r x, y1''(x)=r^2,e^r x
Substituindo na equação:
(x+3)r^2e^r x+(x+2)r,e^r x-e^r x=e^r xl[(x+3)r^2+(x+2)r-1r]=0
Como e^r xneq0, igualamos a zero o coeficiente de x e o termo constante:
r^2+r=0 e 3r^2+2r-1=0
Da primeira obtém-se r(r+1)=0Rightarrow r=0 ou r=-1. Testando em 3r^2+2r-1=0, só r=-1 satisfaz. Logo
y1(x)=e^-x

Passo 3

Para (b), buscamos uma solução polinomial de grau 1,
y2(x)=A x+B,
então
y2'(x)=A, y2''(x)=0
Na equação:
(x+3)cdot0+(x+2)A-(Ax+B)=A(x+2)-Ax-B=2A-B=0
Isso dá B=2A. Tomando A=1 para achar uma base, escolhemos
y2(x)=x+2

Passo 4

Como as soluções y1 e y2 são linearmente independentes, a solução geral da equação é
y(x)=C1,e^-x+C2,(x+2)

Passo 5

Para (d), impomos as condições iniciais:
y(1)=C1e^-1+C2(1+2)=1,
y'(x)=-C1e^-x+C2 Longrightarrow y'(1)=-C1e^-1+C2=3
O sistema é
C1e^-1+3C2=1, -,C1e^-1+C2=3
Somando as duas equações elimina C1e^-1:
4C2=4 Rightarrow C2=1,
e então C1e^-1=1-3cdot1=-2, logo C1=-2e. Assim a solução do PVI é
y(x)=-2e,e^-x+(x+2)=-2e^,1-x+x+2

Resposta

y1(x)=e^-x.
y2(x)=x+2.
Solução geral: y(x)=C1e^-x+C2(x+2).
Solução do PVI: y(x)=-2e^,1-x+x+2.

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