(a) Encontre uma solução da equação diferencial da forma
para um número real fixo.
(b) Encontre uma solução da equação diferencial que seja uma função de grau.
(c) Encontre a solução geral da equação diferencial.
(d) Encontre a solução do PVI
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
e pede: (a) uma solução do tipo ; (b) uma solução polinomial de primeiro grau; (c) a solução geral; (d) a solução do PVI com e . Vamos usar o princípio da superposição e a ideia de testar e um polinômio de grau 1.
Passo 2
Para (a), assumimos
então
Substituindo na equação:
Como , igualamos a zero o coeficiente de e o termo constante:
Da primeira obtém-se ou . Testando em , só satisfaz. Logo
Passo 3
Para (b), buscamos uma solução polinomial de grau 1,
então
Na equação:
Isso dá . Tomando para achar uma base, escolhemos
Passo 4
Como as soluções e são linearmente independentes, a solução geral da equação é
Passo 5
Para (d), impomos as condições iniciais:
O sistema é
Somando as duas equações elimina C1e^-1:
4C2=4 Rightarrow C2=1,
e então C1e^-1=1-3cdot1=-2, logo C1=-2e. Assim a solução do PVI é
y(x)=-2e,e^-x+(x+2)=-2e^,1-x+x+2
Resposta
y1(x)=e^-x. y2(x)=x+2.
Solução geral: y(x)=C1e^-x+C2(x+2).
Solução do PVI: y(x)=-2e^,1-x+x+2.