Exercício 3: Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
d) integral0^1 integralx^3 x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
0 <= x <= 1, x <= y <= 3x
e depois inverter a ordem de integração de
integral0^1!integralx^3x f(x,y),dy,dx
O conteúdo é dupla integral e troca de ordem de integração, para o que precisamos descrever bem o domínio no plano xy.

Passo 2

As fronteiras do domínio são as retas
y = x e y = 3x
com x variando de 0 até 1. No plano xy, o domínio é a região entre essas duas retas, do ponto (0,0) até (1,1) em y=x e até (1,3) em y=3x.

Passo 3

Para inverter, primeiro achamos o intervalo de y. Como a menor y ocorre em x=0 (dando y=0) e a maior em x=1 na reta y=3x (dando y=3), temos
0 <= y <= 3
Em seguida, para um y fixo, x deve satisfazer simultaneamente
x <= y e y <= 3x,
isto é
x <= y Longrightarrow x <= y,
y <= 3x Longrightarrow x >= tfracy3,
além de 0<= x<=1.

Passo 4

Observe que para y>1 a condição x<= y é sempre satisfeita por x<=1. Logo o domínio em x se fragmenta em dois casos:
  1. Se 0<= y<=1, então y<=1 e portanto x<= y<=1. Assim
    y3<= x<= y
  2. Se 1<= y<=3, então a restrição x<= y é automaticamente x<=1, e a única não trivial é x>= y/3. Assim
    y3<= x<=1
Dessa forma a integral trocada fica somatório de duas integrais em y.

Resposta

integral0^1!integralx^3x f(x,y),dy,dx = integraly=0^1!integralx=tfracy3^,y f(x,y),dx,dy ;+; integraly=1^3!integralx=tfracy3^,1 f(x,y),dx,dy

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