Exercício 3: Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
e depois inverter a ordem de integração de
O conteúdo é dupla integral e troca de ordem de integração, para o que precisamos descrever bem o domínio no plano
.
Passo 2
As fronteiras do domínio são as retas
com
variando de
até
. No plano
, o domínio é a região entre essas duas retas, do ponto
até
em
e até
em
.
Passo 3
Para inverter, primeiro achamos o intervalo de
. Como a menor
ocorre em
(dando
) e a maior em
na reta
(dando
), temos
Em seguida, para um
fixo,
deve satisfazer simultaneamente
isto é
além de
.
Passo 4
Observe que para
a condição
é sempre satisfeita por
. Logo o domínio em
se fragmenta em dois casos:
-
Se
, então e portanto . Assim -
Se
, então a restrição é automaticamente , e a única não trivial é . Assim
Dessa forma a integral trocada fica somatório de duas integrais em
.