Calcule:
lim x -infty(3 x+23 x-1)^2 x

Passo 1

O enunciado pede
limxto -inftyl(3x+23x-1r)^2x.
É uma indeterminação do tipo 1^-infty, então vamos usar logaritmo e expansão em série para resolver.

Passo 2

Primeiro simplificamos a fração dentro da potência, fatorando 3x:
3x+23x-1 = 3xl(1 + tfrac23xr)3xl(1 - tfrac13xr) = 1 + tfrac23x1 - tfrac13x
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l(3x+23x-1r)^2x = l(1 + tfrac23x1 - tfrac13xr)^2x

Passo 3

Definindo
L = limxto -inftyl(1 + tfrac23x1 - tfrac13xr)^2x,
aplicamos logaritmo:
ln L = limxto -infty2xl[lnl(1+tfrac23xr) - lnl(1-tfrac13xr)r]

Passo 4

Para xto -infty, os argumentos das funções log são próximos de 1, então usamos
ln(1+u)=u-tfracu^22+O(u^3)
Com u1=tfrac23x e u2=-tfrac13x temos
lnl(1+tfrac23xr) =tfrac23x-tfrac12l(tfrac23xr)^2+Ol(tfrac1x^3r), lnl(1-tfrac13xr) =-tfrac13x-tfrac12l(tfrac-13xr)^2+Ol(tfrac1x^3r)
Subtraindo e multiplicando por 2x
ln L = limxto -infty2xl(tfrac1x+O(tfrac1x^2)r) =2

Passo 5

Como ln L=2, concluímos que
L=e^2

Resposta

e^2

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