Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(ln y+2 x y^3) i+(3 x^2 y^2+x / y) j

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)=(P,Q) com
P(x,y)=ln y+2x y^3, Q(x,y)=3x^2y^2+xy
Precisamos testar se F é conservativo no domínio y>0 e, se for, achar uma função potencial f tal que nabla f=F.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y =ddyl(ln y+2x y^3r) =1y+6x y^2,
partial Qpartial x =ddxl(3x^2y^2+xyr) =6x y^2+1y

Passo 3

Como
partial Ppartial y =partial Qpartial x
no domínio y>0, o campo F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a função potencial f, integramos P em relação a x:
f(x,y) =integrall(ln y+2x y^3r),dx =xln y + x^2y^3+h(y),
onde h é função que depende só de y.

Passo 5

Diferenciando f em relação a y:
partial fpartial y =xy+3x^2y^2+h'(y)
Para ter partial f/partial y=Q, precisamos de
h'(y)=0 Longrightarrow h(y)=C

Resposta

F é conservativo no domínio y>0 e uma função
potencial é
f(x,y)=xln y + x^2y^3+C

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