Calcule:
lim x -infty(x+2x+1)^x

Passo 1

No enunciado temos que calcular
limxto -inftyl(x+2x+1r)^x.
O conteúdo aqui é limite de forma indeterminada 1^infty, e vamos usar reescrita em função de uma expressão do tipo l(1+ur)^v e expansão de logaritmo para resolver.

Passo 2

Escrevemos a base como
x+2x+1=1+1x+1
Logo a expressão fica
l(1+1x+1r)^x

Passo 3

Chamando L essa expressão, aplicamos o logaritmo para tratar o expoente:
ln L=limxto -inftyx;ln!l(1+1x+1r)
Esse limite é do tipo (-infty)cdot0. Para avaliá-lo, usamos a expansão de Taylor de ln(1+u) para uapprox0.

Passo 4

Com u=1x+1, a expansão é
ln!l(1+1x+1r) =1x+1-12(x+1)^2+o!l(tfrac1x^2r)
Multiplicando por x,
xln!l(1+1x+1r) =xl(1x+1-12(x+1)^2+o(tfrac1x^2)r)
Observando que
xcdot1x+1to1, xcdot12(x+1)^2to0 (xto -infty),
segue que
ln L=1
Portanto
L=e^1=e

Resposta

e

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