Resolva as equações abaixo fazendo a substituição v=y^prime.
t y^prime prime=y^prime

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
t,y'' = y'
fazendo a substituição ,v = y'.
O conteúdo aqui é reduzir uma EDO de segunda ordem a uma de primeira ordem e, em seguida, integrar.

Passo 2

Definindo v = y', temos y'' = dvdt. Substituindo em
t,y'' = y'
obtém-se a equação em v:
t,dvdt = v

Passo 3

Para resolver
t,dvdt = v
separamos variáveis:
dvv = dtt
Integrando ambos os lados,
integral dvv = integral dtt Longrightarrow lnlvert vrvert = lnlvert trvert + C1,
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v = C1,t,
onde C1 é constante de integração.

Passo 4

Voltando à variável y, lembramos que v = y'. Assim
y' = C1,t
Integramos em t:
y = integral C1,t,dt = C1,t^22 + C2,
com C2 outra constante de integração.

Resposta

y(t) = C1,t^22 + C2

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