Resolva as equações abaixo fazendo a substituição v=y^prime.
y^prime prime+(y^prime)^2=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação de segunda ordem
y'' + (y')^2 = 0
fazendo a substituição v = y'. Vamos transformar em uma equação de primeira ordem em v(x) e depois voltar a y(x).

Passo 2

Definindo v = y', temos y'' = dfracdvdx. Substituindo na equação original, obtém-se
dvdx + v^2 = 0

Passo 3

Separamos as variáveis e integramos
integral dvv^2 = -integral dx
e, ao calcular as integrais, resulta
-,v^-1 = -,x + C1

Passo 4

Multiplicando por -1 e isolando v, obtemos
v^-1 = x - C1 Longrightarrow v = 1x - C1
Chamando C2 = -,C1, fica
v = 1x + C2

Passo 5

Voltando a y, temos
y' = 1x + C2
Integramos em x e achamos
y = integral dxx + C2 = lnl|x + C2r| + C3

Resposta

y(x) = lnl|x + C2r| + C3

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