Calcule:
lim x +infty(x+2x+1)^x,

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto+inftyl(x+2x+1r)^x,
que é uma forma indeterminada do tipo (1)^infty. Para resolver, vamos usar o método do logaritmo natural e limites exponenciais.

Passo 2

Reescrevendo a base como um desvio de 1, temos
x+2x+1 ;=; 1 + 1x+1
Assim a expressão vira
l(x+2x+1r)^x =l(1+1x+1r)^x

Passo 3

Defina
L = limxtoinftyl(1+1x+1r)^x
Tomamos logaritmo natural e trocamos o limite:
ln L = limxtoinfty x,ln!l(1+1x+1r)

Passo 4

Para zto0 vale ln(1+z)sim z. Aqui z=tfrac1x+1to0, logo
x,ln!l(1+1x+1r) sim xcdot1x+1 =x,x+1, ;longrightarrow;1
Portanto ln L = 1.

Passo 5

Como ln L = 1, conclui-se
L = e^1 = e

Resposta

e

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