Exercício 18. (Apostol seção 2.12 exercícios 11 a 18). Considere os espaços vetoriais V gerados pelas funções abaixo. Definamos D: V V como D(f)=d fd x. Considerando a base como sendo os vetores que geram o espaço V, ache a matriz que representa D e D^2 nos seguintes casos:
V é gerado por 1,1+x, 1+x+e^x.

Passo 1

O enunciado pede a matriz da derivação Dcolon Vto V, D(f)=f', e de D^2 no espaço vetorial
V = span,1,;1+x,;1+x+e^x,
usando como base exatamente B=(v1,v2,v3) com
v1=1, v2=1+x, v3=1+x+e^x
Para obter a matriz, basta calcular D(vj), escrever cada resultado como combinação linear de v1,v2,v3 e usar esses coeficientes como colunas.

Passo 2

Aplicamos D a cada vetor da base, valendo-se da regra (e^x)'=e^x:
D(v1)=D(1)=0, D(v2)=D(1+x)=1, D(v3)=D(1+x+e^x)=1+e^x

Passo 3

Agora expressamos D(v1)=0 e D(v2)=1 em coordenadas na base B. Se
a,v1+b,v2+c,v3=0,
então a+b+c=0, b+c=0, c=0, o que dá a=b=c=0. Logo a coluna 1 é 000.
Para 1=a,v1+b,v2+c,v3 resolvemos
a+b+c=1, b+c=0, c=0;Longrightarrow;(a,b,c)=(1,0,0),
então a coluna 2 é 100.

Passo 4

Para D(v3)=1+e^x escrevemos
a,v1+b,v2+c,v3=1+e^x
que dá as equações
a+b+c=1, b+c=0, c=1
e portanto (a,b,c)=(1,-1,1). A coluna 3 de [D]B é 1-11.

Passo 5

Juntando as colunas, a matriz de D na base B é
[D]B = 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1

Passo 6

Para D^2 basta derivar de novo cada D(vj):
D^2(v1)=D(0)=0, D^2(v2)=D(1)=0, D^2(v3)=D(1+e^x)=e^x

Passo 7

Expressamos D^2(v3)=e^x em B resolvendo
a,v1+b,v2+c,v3=e^x
ou seja
a+b+c=0, b+c=0, c=1
que dá (a,b,c)=(0,-1,1). As colunas de [D^2]B são então
,(0,0,0)^T, (0,0,0)^T e (0,-1,1)^T.

Resposta

A matriz de D e de D^2 na base 1,1+x,1+x+e^x é
[D]B = 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1 , [D^2]B = 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 0 & 0 & 1

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