Calcule
lim x infty(2 x+a2 x+b)^x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxtoinftyl(2x+a2x+br)^x,
sendo a e b constantes reais. Vamos usar a técnica de escrever a expressão na forma exp(cdot) e calcular o limite do expoente via logaritmo.

Passo 2

Escrevemos
l(2x+a2x+br)^x =expl(xlnl(tfrac2x+a2x+br)r)
Portanto, basta achar
limxtoinftyxln!l(tfrac2x+a2x+br)

Passo 3

Observe que
ln!l(tfrac2x+a2x+br) =lnl(1+tfraca-b2x+br)
Para xtoinfty, o termo tfraca-b2x+b é pequeno, e usamos
ln(1+u)sim u(uto0)
Logo,
xln!l(1+tfraca-b2x+br) sim xcdottfraca-b2x+b longrightarrow a-b2

Passo 4

Como o expoente tende a tfraca-b2, o limite original é
exp!l(tfraca-b2r)

Resposta

e^a-b2

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