(1,0) Seja
uma função definida por
, onde
. Prove que
é uma bijeção com inversa contínua se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
, definida por
com constantes reais
.
Queremos provar que é bijeção com inversa contínua se, e somente se,
Queremos provar que
Os conceitos que vamos usar são: monoticidade de funções reais, teste da derivada para monotonicidade, discriminante de uma equação quadrática e comportamento de polinômios cúbicos nos extremos.
Passo 2
Uma função contínua estritamente crescente em
é injetora; se além disso
e
, ela é sobrejetora e sua inversa é contínua.
No nosso caso, como o termo dominante de é
com coeficiente positivo, temos
No nosso caso, como o termo dominante de
logo basta garantir que
seja estritamente crescente para concluir que é bijetora com inversa contínua.
Passo 3
Para verificar estrita monotonicidade, calculamos a derivada
Trata-se de uma função quadrática de concavidade para cima. A condição exata para que uma função quadrática
com
seja positiva em todo
é que seu discriminante seja negativo:
Aplicando a
, temos
,
e
, de modo que
Assim,
Passo 4
Juntando:
– Se , então
para todo
, logo
é estritamente crescente. Como tende a
nos extremos,
é bijeção e, por ser monotônica, tem inversa contínua.
– Se é bijeção com inversa contínua, então
deve ser estritamente crescente e portanto sua derivada não muda de sinal nem zera em dois pontos distintos, o que implica
.
– Se
– Se