(1,0) Seja p: R R uma função definida por p(x)=x^3+a x^2+b x+c, onde a, b, c in R. Prove que p é uma bijeção com inversa contínua se, e somente se, a^2<3 b.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
,pcolonRtoR, definida por
p(x)=x^3+a,x^2+b,x+c,
com constantes reais a,b,c.
Queremos provar que p é bijeção com inversa contínua se, e somente se,
a^2<3,b
Os conceitos que vamos usar são: monoticidade de funções reais, teste da derivada para monotonicidade, discriminante de uma equação quadrática e comportamento de polinômios cúbicos nos extremos.

Passo 2

Uma função contínua estritamente crescente em R é injetora; se além disso limxto-inftyp(x)=-infty e limxto+inftyp(x)=+infty, ela é sobrejetora e sua inversa é contínua.
No nosso caso, como o termo dominante de p é x^3 com coeficiente positivo, temos
limxto-inftyp(x)=-infty e limxto+inftyp(x)=+infty,
logo basta garantir que p seja estritamente crescente para concluir que é bijetora com inversa contínua.

Passo 3

Para verificar estrita monotonicidade, calculamos a derivada
p'(x)=3x^2+2a,x+b
Trata-se de uma função quadrática de concavidade para cima. A condição exata para que uma função quadrática
,q(x)=alpha x^2+beta x+gamma com alpha>0 seja positiva em todo xinR é que seu discriminante seja negativo:
De<a = discriminante de q = beta^2 - 4alphagamma < 0 Long<=ftrightarrow q(x) > 0,;forall x in R
Aplicando a p'(x), temos alpha=3, beta=2a e gamma=b, de modo que
De<a = (2a)^2 - 4 cdot 3 cdot b = 4a^2 - 12b
Assim,
p'(x) > 0 ; forall x in R Long<=ftrightarrow 4a^2 - 12b < 0 Long<=ftrightarrow a^2 < 3b

Passo 4

Juntando:
– Se a^2<3b, então p'(x)>0 para todo x, logo p é estritamente crescente. Como tende a pminfty nos extremos, p é bijeção e, por ser monotônica, tem inversa contínua.
– Se p é bijeção com inversa contínua, então p deve ser estritamente crescente e portanto sua derivada não muda de sinal nem zera em dois pontos distintos, o que implica a^2<3b.

Resposta

a^2<3b.

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