Reconheça e determine a área da região
, do primeiro quadrante, limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
no primeiro quadrante limitada pelas curvas
e
.
Para resolver, vamos esboçar as fronteiras, encontrar os pontos de interseção e usar integração em , dividindo o intervalo onde a “fronteira superior” muda de uma curva para outra.
Para resolver, vamos esboçar as fronteiras, encontrar os pontos de interseção e usar integração em
Passo 2
Encontramos onde a reta e a hipérbole se cruzam resolvendo
Subtraindo
de ambos os lados e multiplicando por
vem
Então o ponto de interseção é
.
Além disso, a reta encontra
em
, daí
, ponto
. A hipérbole não cruza
finitamente.
Além disso, a reta
Passo 3
Para
, calculamos a área entre a reta (fronteira superior) e
.
Para , a fronteira superior passa a ser a hipérbole
.
Logo a área total é
Para
Logo a área total é
Passo 4
Calculando cada integral:
Para ,
Para
Para
,
Somando as duas partes, a área é
Resposta
A área da região
é