Reconheça e determine a área da região R, do primeiro quadrante, limitada pelas curvas y=2 x+1,(y-1) x=2, x=4 e y=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R no primeiro quadrante limitada pelas curvas
;y=2x+1,;(y-1)x=2,;x=4 e y=1.
Para resolver, vamos esboçar as fronteiras, encontrar os pontos de interseção e usar integração em x, dividindo o intervalo onde a “fronteira superior” muda de uma curva para outra.

Passo 2

Encontramos onde a reta e a hipérbole se cruzam resolvendo
2x+1 ;=;2x+1
Subtraindo 1 de ambos os lados e multiplicando por x vem
2x^2=2 Longrightarrow x^2=1 Longrightarrow x=1(no 1º quadrante) º
Então o ponto de interseção é l(1,,2cdot1+1r)=(1,3).
Além disso, a reta y=2x+1 encontra y=1 em 2x+1=1, daí x=0, ponto (0,1). A hipérbole não cruza y=1 finitamente.

Passo 3

Para 0<= x<=1, calculamos a área entre a reta (fronteira superior) e y=1.
Para 1<= x<=4, a fronteira superior passa a ser a hipérbole y=1+tfrac2x.
Logo a área total é
integral0^1l[(2x+1)-1r],dx ;+; integral1^4l[l(1+tfrac2xr)-1r],dx

Passo 4

Calculando cada integral:
Para 0<= x<=1,
integral0^12x,dx =l[x^2r]0^1 =1
Para 1<= x<=4,
integral1^42x,dx =2l[ln xr]1^4 =2ln 4 =4ln 2
Somando as duas partes, a área é
1 ;+;4ln 2

Resposta

A área da região R é
1 + 4ln 2

Exercícios relacionados