Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=cctheta, & se theta in[0, pi[ 0, & se theta in]-pi, 0].

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(theta)= theta, & thetain[0,pi[ 0, & thetain]-pi,0]
definida em ] -pi, pi[. Para isso, vamos usar a definição de transformada de Fourier (no sinal de física)
hat f(omega)=integral-pi^pif(theta),e^-iomegatheta,dtheta

Passo 2

Como f(theta)=0 para theta<0, a integral fica restrita a [0,pi]. Logo
hat f(omega) =integral0^pitheta,e^-iomegatheta,dtheta
Denotemos
I(omega)=integral0^pitheta,e^-iomegatheta,dtheta

Passo 3

Para calcular I(omega) usamos integração por partes. Tomamos
u=theta, dv=e^-iomegatheta,dtheta
então
du=dtheta, v=-e^-iomegathetaiomega
Aplicando
I(omega)=u,v|0^pi-integral0^piv,du =-pi,e^-iomegapiiomega +1iomegaintegral0^pie^-iomegatheta,dtheta

Passo 4

Ainda falta
integral0^pie^-iomegatheta,dtheta =[-e^-iomegathetaiomega]0^pi =-e^-iomegapi-1iomega
Substituindo em I(omega) obtemos
I(omega) =-pi,e^-iomegapiiomega -e^-iomegapi-1omega^2
Portanto
hat f(omega) =I(omega) =-pi,e^-iomegapiiomega -e^-iomegapi-1omega^2

Resposta

boxed hat f(omega) =-pi,e^-iomegapiiomega -e^-iomegapi-1omega^2, com;hat f(0)=integral0^pitheta,dtheta=pi^22

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