Calcule
lim x infty(x+ax+b)^x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyl(x+ax+br)^x,
que é um limite de forma indeterminada 1^infty. Vamos usar transformação pelo logaritmo e expansão assintótica de ln(x+c).

Passo 2

Seja
L=limxtoinftyl(tfracx+ax+br)^x
Tomamos o logaritmo de L:
ln L = limxtoinfty x;lnl(tfracx+ax+br)

Passo 3

Reescrevemos a diferença de logaritmos:
lnl(tfracx+ax+br) =ln(x+a)-ln(x+b)
Usamos a expansão para xtoinfty:
ln(x+c)=ln x+cx+o!l(tfrac1xr)
Logo,
ln(x+a)-ln(x+b) =ax-bx+o!l(tfrac1xr) =a-bx+o!l(tfrac1xr)

Passo 4

Substituindo na expressão de ln L:
ln L =limxtoinftyxl(a-bx+o!l(tfrac1xr)r) =limxtoinftyl(a-b + xcdot o(tfrac1x)r) =a-b

Passo 5

Como ln L=a-b, concluímos que
L = e^,a-b

Resposta

limxtoinftyl(tfracx+ax+br)^x = e^,a-b

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