Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=|theta|.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função fcolon(-pi,pi)toC dada por f(theta)=|theta|. O conteúdo é a definição de transformada de Fourier em R restringida ao intervalo -pi<=theta<=pi. Vamos usar:
  1. A definição
  2. A paridade de f (função par) para reduzir a integral complexa a uma integral real com cosseno
  3. Integração por partes para avaliar a integral resultante

Passo 2

Escrevemos a transformada de Fourier (no sentido integral) como
hat f(omega) =integral-pi^pi|theta|,e^-,iomegatheta,dtheta
Como |theta| é par e e^-iomegatheta=cos(omegatheta)-isin(omegatheta) tem parte ímpar em sin, a parte imaginária se anula e a parte real duplica a integral de 0 a pi. Logo,
hat f(omega) =2integral0^pithetacos(omegatheta),dtheta

Passo 3

Para calcular
I(omega)=integral0^pithetacos(omegatheta),dtheta,
fazemos integração por partes: escolha
u=theta, dv=cos(omegatheta),dtheta. Então
du=dtheta e
v=1omegasin(omegatheta).
Aplicando
I(omega) =lthetacdot1omegasin(omegatheta)r|0^pi -integral0^pi1omegasin(omegatheta),dtheta
O primeiro termo é
piomegasin(omegapi),
o segundo é
1omega integral0^pisin(omegatheta),dtheta =1omegal[-1omegacos(omegatheta)r]0^pi =-1omega^2l(cos(omegapi)-1r)
Portanto
I(omega) =piomegasin(omegapi) +1omega^2l(cos(omegapi)-1r)

Passo 4

Voltando à transformada, multiplicamos por 2:
hat f(omega) =2,I(omega) =2l[piomegasin(omegapi) +1omega^2(cos(omegapi)-1)r]
Podemos deixar assim ou usar cos(omegapi)-1=-2sin^2(tfracomegapi2) para outra forma.

Resposta

boxed hat f(omega) =2gl[piomega,sin(omegapi) +1omega^2l(cos(omegapi)-1r)gr]
Em particular, no caso omega=0 vale hat f(0)=integral-pi^pi|theta|,dtheta=pi^2.

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