Escreva o conceito de Integral Indefinida e determine g(pi / 4), sabendo que integral g(x) d x=cos (x)- x cdot sen(x)-cotg(2 x)+K.

Passo 1

O enunciado pede primeiro que a gente explique o que é uma integral indefinida e depois que determine o valor de gl(pi/4r), sabendo que
integral g(x),dx = cos(x) - xsin(x) - cot(2x) + K
O conteúdo que vamos usar é a relação entre derivada e antiderivada.

Passo 2

Integral indefinida é o conjunto de todas as antiderivadas de uma função g(x). Em outras palavras, dizer
F(x) + K = integral g(x),dx
significa que F'(x) = g(x). Aqui K é a constante arbitrária porque derivada de constante é zero.

Passo 3

Pelo item acima, se
integral g(x),dx = F(x) + K,
então
g(x) = F'(x)
No nosso caso,
F(x) = cos(x) - xsin(x) - cot(2x)

Passo 4

Vamos derivar F(x):
g(x) = F'(x) = ddxl[cos(x)r] - ddxl[xsin(x)r] - ddxl[cot(2x)r]
Calculando termo a termo:
ddx[cos(x)] = -sin(x), ddx[xsin(x)] = sin(x) + xcos(x), ddx[cot(2x)] = -2csc^2(2x)
Portanto
g(x) = -sin(x) -l(sin(x)+xcos(x)r) -l(-2csc^2(2x)r) = -2sin(x) - xcos(x) + 2csc^2(2x)

Passo 5

Agora avaliamos em x=pi/4:
gl(tfracpi4r) = -2sinl(tfracpi4r) - tfracpi4cosl(tfracpi4r) + 2csc^2l(2cdottfracpi4r)
Como sin(pi/4)=cos(pi/4)=tfracraiz22 e 2cdottfracpi4=tfracpi2 com csc^2(pi/2)=1, vem
gl(tfracpi4r) = -2cdottfracraiz22 - tfracpi4cdottfracraiz22 + 2cdot1 = -raiz2 - raiz2,pi8 + 2

Resposta

gl(tfracpi4r) = 2 - raiz2 - raiz2,pi8

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