Q. 4(2,0). Dois carros começam a se mover a partir de um mesmo ponto. Um deles viaja para o sul com velocidade constante de 25 km / h e outro viaja para o oeste com velocidade constante de 60 km / h. Qual é a taxa de variação da distância entre eles duas horas depois?

Passo 1

O enunciado diz que dois carros partem do mesmo ponto em t=0: um vai para o sul a 25 km/h e outro vai para o oeste a 60 km/h. Precisamos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar a distância entre eles com as posições e, em seguida, aplicar derivação implícita (taxas de variação relacionadas).

Passo 2

Seja x(t) a distância percorrida pelo carro indo para o oeste e y(t) a distância percorrida pelo carro indo para o sul. Então
x(t)=60,t,
y(t)=25,t
Pelo Teorema de Pitágoras, a distância entre eles é
D(t)=raizx(t)^2+y(t)^2

Passo 3

Vamos derivar D(t) em relação a t. Primeiro escrevemos
D^2=x^2+y^2
Derivando ambos os lados em relação a t, usando derivada de soma e regra da cadeia, obtemos
2D,dDdt=2x,dxdt+2y,dydt
Logo
dDdt=x,dxdt+y,dydtD

Passo 4

A t=2 horas temos
x(2)=60cdot2=120, y(2)=25cdot2=50,
dxdt=60, dydt=25,
D(2)=raiz120^2+50^2=raiz14400+2500=130
Substituindo em dDdt:
dDdt|t=2 =120cdot60+50cdot25130 =7200+1250130 =8450130 =65

Resposta

A taxa de variação da distância entre eles 2 horas depois é 65 km/h.

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