Calcule:
lim x +infty 3-xraiz5+4 x^2

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite quando xto+infty da expressão dfrac3 - xraiz5 + 4x^2. Isso envolve manipular a expressão usando fatoração em x e propriedades de limites de funções racionais e radicais.

Passo 2

Para simplificar, observe que tanto o numerador quanto o denominador crescem em módulo com x. Vamos fatorar x em cada parte. Primeiro, no numerador:
3 - x = x(3x - 1)
No denominador, extraímos x^2 de dentro da raiz:
raiz5 + 4x^2 = raizx^2(5x^2 + 4) = |x|raiz4 + 5x^2
Como estamos considerando xto +infty, temos |x| = x. Substituindo de volta na expressão original:
3 - xraiz5 + 4x^2 = x(3x - 1)xraiz4 + 5x^2 = 3x - 1raiz4 + 5x^2

Passo 3

Agora podemos aplicar o limite separadamente no numerador e no denominador. Quando xto+infty, temos tfrac3xto 0 e tfrac5x^2to 0. Então:
3/x - 1raiz4 + 5/x^2 ; xrightarrow[xto+infty] ; 0 - 1raiz4 + 0 = -12

Resposta

-\nfrac{1}{2}

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