Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de primeira ordem
t^2 y^prime(t)+t y(t)=1 onde t>0

Passo 1

A gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem dada por
t^2y'(t) + t,y(t) = 1
com domínio t>0. Para resolver, vamos colocar no formato padrão y' + p(t)y = q(t) e usar fator integrante.

Passo 2

Divido toda a equação por t^2 para obter o formato padrão:
y'(t) + 1t,y(t) = 1t^2.
Aqui p(t)=1/t e q(t)=1/t^2.

Passo 3

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = expl(integral p(t),dtr) = expl(integral 1t,dtr) = t

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t temos
t,y'(t) + y(t) = 1t
O lado esquerdo é a derivada do produto (t,y), pois
ddtl(t,y(t)r) = t,y'(t) + y(t)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a t:
t,y(t) = integral 1t,dt = ln t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, isolamos y(t):
y(t) = ln t + Ct

Resposta

y(t) = ln t + Ct, com C constante arbitrária.

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