Calcule
lim x 0 integral0^x(1-tg(2 t))^1 / t d t

Passo 1

O enunciado pede
limxto0integral0^x(1-tan(2t))^1/t,dt
O conteúdo é análise de limite de integral com integrando que tende a um valor finito quando tto0. Vamos usar a expansão assintótica do integrando perto de t=0 para entender seu comportamento e então avaliar o limite da integral.

Passo 2

Defina a função integrando
f(t) = (1-tan(2t))^1/t
Para estudar f(t) quando tto0, escrevemos
f(t) = expl(tfrac1tln(1-tan(2t))r)
Agora expandimos tan(2t) e o logaritmo para t pequeno.

Passo 3

Para tto0 vale
tan(2t) = 2t + O(t^3),
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lnl(1-tan(2t)r) = lnl(1-2t+O(t^3)r) = -2t + O(t^3)
Dividindo por t e exponenciando, obtemos
tfrac1tln(1-tan(2t)) = -2 + O(t^2),
f(t) = exp(-2 + O(t^2)) = e^-2l(1 + O(t^2)r)
Portanto f(t) tende a e^-2 e fica limitada perto de t=0.

Passo 4

Como f(t)=e^-2+O(t^2), a integral de 0 a x é
integral0^xf(t),dt = integral0^xl(e^-2+O(t^2)r),dt = e^-2,x + O(x^3)
Quando xto0, esse valor tende a 0.

Resposta

0

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