Identifique os intervalos onde a função f(x)=integral0^x raiz1+t^3 d t é crescente e decrescente e também onde sua concavidade é voltada para cima e para baixo.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=integral0^xraiz1+t^3,dt
e pede onde f é crescente/decrescente e onde é côncava para cima/para baixo.
Conteúdo: usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para achar f' e depois derivamos de novo para achar f'', analisando os sinais.

Passo 2

Antes de tudo, notamos que a integranda raiz1+t^3 só faz sentido real se
1+t^3>=0Longrightarrow t>=-1
Como a integral vai de 0 até x, isso exige x>=-1. Logo o domínio de f é
[-1,infty)
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para todo x>=-1,
f'(x)=raiz1+x^3

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x)=raiz1+x^3:
  • Para x>-1, 1+x^3>0 Rightarrow raiz1+x^3>0.
  • Em x=-1, f'(-1)=raiz1+(-1)^3=0.
    Assim f'(x)>=0 em todo o domínio e >0 sempre que x>-1.
    Conclusão:
    f é estritamente crescente em (-1,infty) e não há intervalos em que seja decrescente.

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada para estudar concavidade. Derivando
f'(x)=(1+x^3)^1/2
vem
f''(x) =12(1+x^3)^-1/2cdot3x^2 =3x^22raiz1+x^3
No domínio ( -1,infty) o denominador é positivo e x^2>=0, com igualdade somente em x=0. Logo
f''(x)>=0para todo x>-1,
sendo f''(x)>0 sempre que xneq0.

Passo 5

Do sinal de f'' concluímos que f é côncava para cima em todo o domínio onde f'' existe, ou seja, em (-1,infty). Não existe intervalo em que f seja côncava para baixo, pois f'' nunca fica negativa (ela apenas se anula em um ponto isolado x=0, sem troca de sinal).

Resposta

Crescente: [-1,infty) (estritamente em (-1,infty)).
Não há intervalo de decrescimento.
Côncava para cima: (-1,infty).
Não há intervalo de concavidade para baixo.

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