Identifique os intervalos onde a função
é crescente e decrescente e também onde sua concavidade é voltada para cima e para baixo.
Passo 1
O enunciado define
e pede onde
é crescente/decrescente e onde é côncava para cima/para baixo.
Conteúdo: usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para achar e depois derivamos de novo para achar
, analisando os sinais.
Conteúdo: usamos o Teorema Fundamental do Cálculo para achar
Passo 2
Antes de tudo, notamos que a integranda
só faz sentido real se
Como a integral vai de
até
, isso exige
. Logo o domínio de
é
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, para todo
,
Passo 3
Analisamos o sinal de
:
- Para
, . - Em
, .
Assimem todo o domínio e sempre que .
Conclusão:
é estritamente crescente em e não há intervalos em que seja decrescente.
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada para estudar concavidade. Derivando
vem
No domínio
o denominador é positivo e
, com igualdade somente em
. Logo
sendo
sempre que
.
Passo 5
Do sinal de
concluímos que
é côncava para cima em todo o domínio onde
existe, ou seja, em
. Não existe intervalo em que
seja côncava para baixo, pois
nunca fica negativa (ela apenas se anula em um ponto isolado
, sem troca de sinal).
Resposta
Crescente:
(estritamente em
).
Não há intervalo de decrescimento.
Côncava para cima: .
Não há intervalo de concavidade para baixo.
Não há intervalo de decrescimento.
Côncava para cima:
Não há intervalo de concavidade para baixo.