Faça um esboço da região de integração e mude a sua ordem para os casos abaixo:
integral1^4(integralraizx^2 f(x, y) d y) d x

Passo 1

O enunciado apresenta a integral dupla
I=integralx=1^4gl(integraly=raizx^2f(x,y),dygr)dx,
cujo conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas (teorema de Fubini). Vamos esboçar a região de integração e depois reescrever I trocando a ordem de integração.

Passo 2

A região de integração é
D=(x,y)mid 1<= x<= 4,;raizx<= y<= 2
Para esboçar D no plano xy:
  1. Trace a curva y=raizx, que pode reescrever como x=y^2.
  2. Marque os pontos de interseção com x=1 e x=4, ou seja (1,1) e (4,2).
  3. Trace a reta horizontal y=2 e a linha vertical x=1.
  4. A região D fica entre a curva y=raizx (por baixo), a reta y=2 (por cima), e as linhas verticais x=1 e x=4.

Passo 3

Para inverter a ordem, identificamos primeiro o intervalo de y. Como a curva varia de raizx=1 até raizx=2 quando x vai de 1 a 4, obtemos
1<= y<= 2
Em cada nível fixo de y, x varia desde a linha vertical x=1 até o ponto sobre a curva x=y^2. Logo
1<= x<= y^2
Portanto, trocando a ordem de integração,
I=integraly=1^2gl(integralx=1^y^2f(x,y),dxgr)dy

Resposta

integral1^4l(integralraizx^2f(x,y),dyr)dx =integral1^2l(integral1^y^2f(x,y),dxr)dy

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