Faça um esboço da região de integração e mude a sua ordem para os casos abaixo:
Passo 1
O enunciado apresenta a integral dupla
cujo conteúdo é mudança de ordem de integração em integrais duplas (teorema de Fubini). Vamos esboçar a região de integração e depois reescrever
trocando a ordem de integração.
Passo 2
A região de integração é
Para esboçar
no plano
:
- Trace a curva
, que pode reescrever como . - Marque os pontos de interseção com
e , ou seja e . - Trace a reta horizontal
e a linha vertical . - A região
fica entre a curva (por baixo), a reta (por cima), e as linhas verticais e .
Passo 3
Para inverter a ordem, identificamos primeiro o intervalo de
. Como a curva varia de
até
quando
vai de 1 a 4, obtemos
Em cada nível fixo de
,
varia desde a linha vertical
até o ponto sobre a curva
. Logo
Portanto, trocando a ordem de integração,