Seja
uma função bem definida em um intervalo. Encontre a derivada de
, onde
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
O objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, $ f’(x) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma função definida por uma integral. Se temos:
Então, a derivada de $ F(x) $ em relação a $ x $ é:
Aqui, $ h(t) $ é a função dentro da integral e $ g(x) $ é o limite superior da integral que depende de $ x $.
Passo 3
Aplicando esse teorema ao nosso caso, identificamos que:
- $ h(t) = \cos(t) $
- $ g(x) = \tan(x) $
Então, a derivada de $ f(x) $ será:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de $ \tan(x) $. Sabemos que:
Onde $ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} $.
Passo 5
Substituindo a derivada de $ \tan(x) $ na expressão anterior, temos:
Resposta
A derivada de $ f(x) $ é: