Seja f uma função bem definida em um intervalo. Encontre a derivada de f, onde f(x)=integral2^tg(x) cos (t) d t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por uma integral:
f(x) = integral2^tan(x) cos(t) , dt
O objetivo é encontrar a derivada dessa função, ou seja, $ f’(x) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz como derivar uma função definida por uma integral. Se temos:
F(x) = integrala^g(x) h(t) , dt
Então, a derivada de $ F(x) $ em relação a $ x $ é:
F(x)
Aqui, $ h(t) $ é a função dentro da integral e $ g(x) $ é o limite superior da integral que depende de $ x $.

Passo 3

Aplicando esse teorema ao nosso caso, identificamos que:
  • $ h(t) = \cos(t) $
  • $ g(x) = \tan(x) $
Então, a derivada de $ f(x) $ será:
h(t) = cos(t)

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de $ \tan(x) $. Sabemos que:
tan(x)
Onde $ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} $.

Passo 5

Substituindo a derivada de $ \tan(x) $ na expressão anterior, temos:
tan(x)

Resposta

A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

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