Calcule lim x 1^+(ln x)^tg(x-1).

Passo 1

O enunciado pede
limxto1^+(ln x)^tg(x-1)
O conteúdo é cálculo de limite de tipo indeterminado e vamos usar a reescrita em forma exponencial, além de expansões para xto1^+.

Passo 2

Usamos a identidade
a^b = expl(bln ar),
com a=ln x e b=tg(x-1). Assim
(ln x)^tg(x-1) = exp!l(tg(x-1),ln(ln x)r)

Passo 3

Faça h = x-1, de modo que hto0^+. Para h pequeno temos as expansões
tg(h)=h+O(h^3), ln(1+h)=h-tfrac12h^2+O(h^3)
Logo
ln(ln x) =lnl(ln(1+h)r) =lnl(h-tfrac12h^2+O(h^3)r) =ln h + lnl(1-tfrac12h+O(h^2)r) =ln h - tfrac12h+O(h^2)

Passo 4

O expoente da exponencial fica
tg(h),ln(ln(1+h)) =(h+O(h^3))l(ln h - tfrac12h+O(h^2)r) =hln h - tfrac12h^2 +O(h^3ln h)
Quando hto0^+ temos hln hto0 e h^2to0, logo
tg(h),ln(ln(1+h));longrightarrow;0

Passo 5

Portanto
limxto1^+(ln x)^tg(x-1) =exp(0) =1

Resposta

1

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