Verifique que Im(f) subset D(g), determine o domínio maximal de g circ f e dê a regra de h=g circ f :
g(x)=raizx-3 e f(x)=|x-2|+|x-3|+5.

Passo 1

O enunciado dá as funções
g(x)=raizx-3, f(x)=|x-2|+|x-3|+5
e pede para verificar que Im(f)subset D(g), determinar o domínio máximo de gcirc f e escrever a regra de h=gcirc f. Vamos usar:
  • O domínio de g é
D(g)=xinRmid x-3>=0=[3,infty)
  • O domínio de f é todo R.

Passo 2

Vamos achar a imagem de f resolvendo-a em três regiões:
  • Se x<=2, então
f(x)=(2-x)+(3-x)+5=10-2x
Como x<=2 faz 10-2x>=6, em x=2 temos f(2)=6 e para xto-infty temos f(x)to+infty.
  • Se 2<= x<=3, então
f(x)=(x-2)+(3-x)+5=6
  • Se x>=3, então
f(x)=(x-2)+(x-3)+5=2x
Aqui 2x>=6 sempre, atingindo 6 em x=3 e crescendo depois.
Logo
Im(f)=[6,infty)
Como [6,infty)subset[3,infty)=D(g), segue que Im(f)subset D(g).

Passo 3

Por definição,
D(gcirc f)=xin D(f)mid f(x)in D(g)
Mas D(f)=R e já vimos que f(x)>=6 implica f(x)in[3,infty). Portanto
D(gcirc f)=R

Passo 4

A regra de h=gcirc f é
h(x)=gl(f(x)r) =raiz,f(x)-3, =raiz;|x-2|+|x-3|+5-3; =raiz|x-2|+|x-3|+2
Para clareza, podemos também escrever em forma piecewise:
h(x)= raiz7-2x, & x<=2, raiz3, & 2<= x<=3, raiz2x-3, & x>=3

Resposta

O domínio de h=gcirc f é R e
h(x)=raiz|x-2|+|x-3|+2,
É equivalente a
h(x)= raiz7-2x, & x<= 2, raiz3, & 2 <= x <= 3, raiz2x-3, & x >= 3

Exercícios relacionados