Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
y^prime-y=1+x e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
y' - y = 1 + x e^2x
Vamos usar o Método dos Coeficientes a Determinar, que consiste em somar à solução geral da homogênea uma solução particular para o termo independente e outra para o termo x e^2x.

Passo 2

Encontramos primeiro a solução da equação homogênea
y' - y = 0
A equação característica é r - 1 = 0, logo r = 1. Assim
yh = C e^x

Passo 3

Para o termo constante 1, propomos uma solução particular constante yp1=A. Substituindo em y' - y:
yp1' - yp1 = 0 - A = 1 Longrightarrow A = -1
Logo
yp1 = -1

Passo 4

Para o termo x e^2x, propomos
yp2 = l(Bx + Dr)e^2x
Calculamos a derivada:
yp2' = l(B + 2(Bx + D)r)e^2x = l(2Bx + 2D + Br)e^2x
Substituindo em y' - y:
yp2' - yp2 = l(2Bx + 2D + Br)e^2x - (Bx + D)e^2x = l(Bx + (B + D)r)e^2x
Queremos que isso seja igual a x e^2x, portanto
B = 1, B + D = 0 ;Longrightarrow; D = -1
Fica então
yp2 = l(x - 1r)e^2x

Passo 5

A solução geral é
y = yh + yp1 + yp2 = C e^x - 1 + l(x - 1r)e^2x

Resposta

y(x) = C e^x - 1 + l(x - 1r)e^2x

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