Exercício 17. (Apostol seção 4.10 exercícios 2) Em cada um dos casos abaixo, ache uma matriz C in Mn(R) tal que C^-1 A C é uma matriz diagonal ou explique por que uma tal matriz não existe.
A=(cc2 & 1 -1 & 4),

Passo 1

O enunciado pede para achar, se existir, uma matriz inversível Cin M2(R) que faça C^-1AC diagonal. O conteúdo é diagonalização de matrizes: precisamos calcular os autovalores de A, verificar suas multiplicidades algébrica e geométrica, e decidir se há base de autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de
A = 2 & 1 -1 & 4,
que é
det(A - lambda I) = det!2-lambda & 1 -1 & 4-lambda = (2-lambda)(4-lambda) - (1)(-1)
Expandindo,
(2-lambda)(4-lambda) +1 = lambda^2 -6lambda +8 +1 = lambda^2 -6lambda +9

Passo 3

Resolvendo lambda^2 -6lambda +9=0 obtemos
lambda = 6 pm raiz36 -362 = 62 = 3
Logo o único autovalor é lambda=3 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Agora achamos o espaço próprio de lambda=3. Temos
A - 3I = 2-3 & 1 -1 & 4-3 = -1 & 1 -1 & 1
A equação (A-3I)v=0 dá o sistema
-,x + y = 0,
cuja solução é y=x. Portanto o espaço próprio é
(x,x)mid xinR, que tem dimensão 1.

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica ( 1) é menor que a multiplicidade algébrica ( 2), não há duas direções independentes de autovetores. Logo A não é diagonalizável em R, e não existe matriz inversível C tal que C^-1AC seja diagonal.

Resposta

Não existe matriz Cin M2(R) que diagonalize A, pois a dimensão do espaço próprio de lambda=3 é 1<2.

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