Exercício 17. (Apostol seção 4.10 exercícios 2) Em cada um dos casos abaixo, ache uma matriz tal que é uma matriz diagonal ou explique por que uma tal matriz não existe. ,
Passo 1
O enunciado pede para achar, se existir, uma matriz inversível Cin M2(R) que faça C^-1AC diagonal. O conteúdo é diagonalização de matrizes: precisamos calcular os autovalores de A, verificar suas multiplicidades algébrica e geométrica, e decidir se há base de autovetores.
Logo o único autovalor é lambda=3 com multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Agora achamos o espaço próprio de lambda=3. Temos
A - 3I = 2-3 & 1 -1 & 4-3 = -1 & 1 -1 & 1
A equação (A-3I)v=0 dá o sistema
-,x + y = 0,
cuja solução é y=x. Portanto o espaço próprio é (x,x)mid xinR, que tem dimensão 1.
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a multiplicidade algébrica (2), não há duas direções independentes de autovetores. Logo Anão é diagonalizável em R, e não existe matriz inversível C tal que C^-1AC seja diagonal.
Resposta
Não existe matriz Cin M2(R) que diagonalize A, pois a dimensão do espaço próprio de lambda=3 é 1<2.