Calcule lim x 0^+ 1-ln xe^1 / x.
(a) -infty
(b) +infty
© 1
(D) 0
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto0^+1-ln xe^1/x. O conteúdo é limites de funções, em especial comparação entre logaritmo e exponencial, e vamos precisar entender o comportamento assintótico dessas funções e usar uma mudança de variável para facilitar.

Passo 2

Para começar, note que quando xto0^+ temos:
ln xto-infty, logo 1-ln xto+infty.
Ao mesmo tempo 1/xto+infty, então e^1/xto+infty.
Isso gera uma forma indeterminada infty/infty, o que indica que devemos comparar as taxas de crescimento.

Passo 3

Uma técnica eficiente é fazer a substituição t=1/x. Quando xto0^+, vem tto+infty. Reescrevendo cada parte:
1-ln x=1-ln(1/t)=1+ln t=ln(te),
e^1/x=e^t.
Assim o limite vira
limttoinftyln(te)e^t

Passo 4

Agora lembramos que exponenciais crescem muito mais rápido que qualquer logaritmo. Portanto
limttoinftyln(te)e^t=0
Isso mostra que o limite original também vale zero.

Resposta

0

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