Calcule lim x +infty(1+1x)^-x / 2.
(a) e^2
(b) 1e^2
© raize
(D) 1raize
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+inftyl(1+1/xr)^-x/2. O conteúdo principal é limite exponencial envolvendo a constante e. Vamos usar a definição limuto0(1+u)^1/u=e e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Para facilitar a análise, escrevemos a expressão como exponencial:
(1+1/x)^-x/2 = expl[lnl((1+1/x)^-x/2r)r]
e estudamos o limite do argumento de exp.

Passo 3

Calculamos o logaritmo:
lnl((1+1/x)^-x/2r) = -tfracx2,lnl(1+1/xr)
Precisamos então de
limxto+inftyl(-tfracx2ln(1+1/x)r)

Passo 4

Usamos o limite clássico
limxto+infty x,lnl(1+1/xr) = 1,
que decorre de limuto0tfracln(1+u)u=1. Assim,
limxto+inftyl(-tfracx2ln(1+1/x)r) = -tfrac12

Passo 5

Concluímos que
limxto+infty(1+1/x)^-x/2 = expl(-tfrac12r) = tfrac1raize

Resposta

tfrac1raize

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