Seja f(x)=e^arctg x. Qual o valor de f^prime(0) ?
(a) 0
(B) 1
© e^pi / 2
(d) e^pi / 42
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f′(0) para f(x)=e^{arctg x}. Aqui o conteúdo é derivada de função composta envolvendo exponencial e arctan, e vamos precisar usar a regra da cadeia e a derivada de arctan x.

Passo 2

Pela regra da cadeia, se f(x)=e^u(x), então f'(x)=e^u(x),u'(x). No nosso caso, u(x)=arctan x cuja derivada é (arctan x)'=11+x^2. Assim,
f'(x)=e^arctan xcdot11+x^2

Passo 3

Agora basta avaliar em x=0. Sabemos que arctan 0=0 e 1+0^2=1, logo
f'(0)=e^0cdot1=1

Resposta

1

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