Calcule:
lim x 0^+ log 13 x

Passo 1

A questão pede o cálculo do limite limxto0^+log1/3x. O conteúdo principal aqui é limite envolvendo função logarítmica de base tfrac13, e vamos precisar usar a fórmula de mudança de base e o comportamento de ln x quando xto0^+.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a mudança de base para escrever o logaritmo em termos de logaritmo natural. Sabemos que
log1/3x = ln xln(1/3)

Passo 3

Agora, observamos o comportamento de cada parte quando xto0^+:
  • ln x to -infty pois o logaritmo natural de valores muito pequenos tende a -infty.
  • ln(1/3) é um número fixo negativo, pois 1/3<1 implica ln(1/3)<0.
    Dessa forma, o quociente
ln xln(1/3)
vai ter o numerador tendendo a -infty e o denominador sendo um número negativo fixo.

Passo 4

Como estamos dividindo -infty por um número negativo, o resultado do quociente tende a +infty. Portanto, concluímos que o limite diverge para mais infinito.

Resposta

+infty

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