Nos problemas de 1 a 8 , classifique a equação como homogênea, Bernoulli, com coeficientes lineares, ou da forma y^prime=G(a x+b y). Em seguida, resolva-as.
2 t x d x+(t^2-x^2) d t=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2 t x,dx + (t^2 - x^2),dt = 0
Estamos lidando com equação de grau homogêneo em x e t, pois M(x,t)=2tx e N(x,t)=t^2-x^2 são funções homogêneas de mesmo grau (2).

Passo 2

Para resolver uma equação homogênea, usamos a substituição x = v t, em que v é função de t. Assim:
dxdt = v + tdvdt
Reescrevendo a equação original como 2tx,dx/dt + t^2 - x^2 = 0, temos
2t(vt)l(v + ttfracdvdtr) + t^2 - (v t)^2 = 0

Passo 3

Simplificando a expressão acima:
2t^2v l(v + ttfracdvdtr) + t^2 - v^2t^2 = 0
2t^2v^2 + 2t^3vtfracdvdt + t^2 - v^2t^2 = 0
Os termos 2t^2v^2 e -v^2t^2 se combinam, resultando em:
2t^3vtfracdvdt + t^2(v^2+1) = 0

Passo 4

Isolando dv/dt e separando variáveis:
2t^3vdvdt = -t^2(v^2+1)
2vdvdt = -v^2+1t
2vv^2+1,dv = -dtt

Passo 5

Integramos dos dois lados:
integral 2vv^2+1,dv = integral -dtt
O lado esquerdo dá ln(v^2+1) e o direito -ln|t| + C. Logo:
ln(v^2+1) = -ln|t| + C

Passo 6

Voltando à variável original, lembramos que v = x/t. Da igualdade acima:
lnl((x/t)^2+1r) + ln|t| = C
Ou seja,
lnl(l(x^2/t^2+1r)tr) = C
Eliminando o logaritmo:
$$
\frac{x2+t2}{t} = K,\quad K = e^C x^2+t^2t = K, K = e^C
x^2 + t^2 = Kt.
$$

Resposta

A solução geral é
x^2 + t^2 = C,t, C constante de integraçãoçã

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